07.08.202027.05.2017

Для решения большинства задач в математике средней школы необходимо знание по составлению пропорций. Это несложное умение поможет не только выполнять сложные упражнения из учебника, но и углубиться в саму суть математической науки. Как составить пропорцию? Сейчас разберем.

Самым простым примером является задача, где известны три параметра, а четвертый необходимо найти. Пропорции бывают, конечно, разные, но часто требуется найти по процентам какое-нибудь число. Например, всего у мальчика было десять яблок. Четвертую часть он подарил своей маме. Сколько осталось яблок у мальчика? Это самый простой пример, который позволит составить пропорцию. Главное это сделать. Изначально было десять яблок. Пусть это 100%. Это мы обозначили все его яблоки. Он отдал одну четвертую часть. 1/4=25/100. Значит, у него осталось: 100% (было изначально) - 25% (он отдал) = 75%. Эта цифра показывает процентное отношение количества оставшихся фруктов к количеству имевшихся сначала. Теперь у нас есть три числа, по которым уже можно решить пропорцию. 10 яблок - 100%, х яблок - 75%, где х - искомое количество фруктов. Как составить пропорцию? Необходимо понимать, что это такое. Математически это выглядит так. Знак равно поставлен для вашего понимания.

10 яблок = 100%;

x яблок = 75%.

Оказывается, что 10/x = 100%/75. Это и есть основное свойство пропорций. Ведь чем больше x, тем больше процентов составляет это число от исходного. Решаем эту пропорцию и получаем, что x=7,5 яблок. Почему мальчик решил отдать нецелое количество, нам неизвестно. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Главное, найти два соотношения, в одном из которых есть искомое неизвестное.

Решение пропорции часто сводится к простому умножению, а потом к делению. В школах детям не объясняют, почему это именно так. Хотя важно понимать, что пропорциональные отношения есть математическая классика, сама суть науки. Для решения пропорций необходимо уметь обращаться с дробями. Например, часто приходится переводить проценты в обыкновенные дроби. То есть запись 95% не подойдет. А если сразу написать 95/100, то можно провести солидные сокращения, не начиная основного подсчета. Сразу стоит сказать, что если ваша пропорция получилась с двумя неизвестными, то ее не решить. Никакой профессор вам здесь не поможет. А ваша задача, скорее всего, имеет более сложный алгоритм правильных действий.

Рассмотрим еще один пример, где нет процентов. Автомобилист купил 5 литров бензина за 150 рублей. Он подумал о том, сколько он бы заплатил за 30 литров топлива. Для решения этой задачи обозначим за x искомое количество денег. Можете самостоятельно решить эту задачу и потом проверить ответ. Если вы еще не поняли, как составить пропорцию, то смотрите. 5 литров бензина - это 150 рублей. Как и в первом примере, запишем 5л - 150р. Теперь найдем третье число. Конечно, это 30 литров. Согласитесь, что пара 30 л - х рублей уместна в данной ситуации. Перейдем на математический язык.

5 литров - 150 рублей;

30 литров - х рублей;

Решаем эту пропорцию:

x = 900 рублей.

Вот и решили. В своей задаче не забудьте проверить на адекватность ответ. Бывает, что при неправильном решении автомобили достигают нереальных скоростей в 5000 километров в час и так далее. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Также вы сможете ее решить. Как видите, в этом нет ничего сложного.

В прошлом видеоуроке мы рассматривали решение задач на проценты с помощью пропорций. Тогда по условию задачи нам требовалось найти значение той или иной величины.

В этот раз исходное и конечное значения нам уже даны. Поэтому в задачах будет требоваться найти проценты. Точнее, на сколько процентов изменилась та или иная величина. Давайте попробуем.

Задача. Кроссовки стоили 3200 рублей. После повышения цены они стали стоить 4000 рублей. На сколько процентов была повышена цена на кроссовки?

Итак, решаем через пропорцию. Первый шаг — исходная цена была равна 3200 рублей. Следовательно, 3200 рублей — это 100%.

Кроме того, нам дана конечная цена — 4000 рублей. Это неизвестное количество процентов, поэтому обозначим его за x . Получим следующую конструкцию:

3200 — 100%
4000 — x %

Что ж, условие задачи записано. Составляем пропорцию:

Дробь слева прекрасно сокращается на 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Кроме того, можно сократить на 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Получим следующую пропорцию:

Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:

8 · x = 100 · 10;
8x = 1000.

Это обычное линейное уравнение. Отсюда находим x :

x = 1000: 8 = 125

Итак, мы получили итоговый процент x = 125. Но является ли число 125 решением задачи? Нет, ни в коем случае! Потому что в задачи требуется узнать, на сколько процентов была повышена цена на кроссовки.

На сколько процентов — это значит, что нам нужно найти изменение:

∆ = 125 − 100 = 25

Получили 25% — именно настолько была повышена исходная цена. Это и является ответом: 25.

Задача B2 на проценты №2

Переходим ко второй задаче.

Задача. Рубашка стоила 1800 рублей. После снижения цены она стала стоить 1530 рублей. На сколько процентов была снижена цена на рубашку?

Переводим условие на математический язык. Исходная цена 1800 рублей — это 100%. А итоговая цена 1530 рублей — она нам известна, но неизвестно, сколько процентов она составляет от исходной величины. Поэтому обозначим ее за x . Получим следующую конструкцию:

1800 — 100%
1530 — x %

На основе полученной записи составляем пропорцию:

Давайте для упрощения дальнейших вычислений разделим обе части данного уравнения на 100. Другими словами, у числителя левой и правой дроби мы зачеркнем два нуля. Получим:

Теперь снова воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

18 · x = 1530 · 1;
18x = 1530.

Осталось найти x :

x = 1530: 18 = (765 · 2) : (9 · 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

Мы получили, что x = 85. Но, как и в прошлой задаче, это число само по себе не является ответом. Давайте вернемся к нашему условию. Теперь мы знаем, что новая цена, полученная после снижения, составляет 85% от старой. И для того, чтобы найти изменения, нужно из старой цены, т.е. 100%, вычесть новую цену, т.е. 85%. Получим:

∆ = 100 − 85 = 15

Это число и будет ответом: Обратите внимание: именно 15, а ни в коем случае не 85. Вот и все! Задача решена.

Внимательные ученики наверняка спросят: почему в первой задаче мы при нахождении разности вычитали из конечного числа начальное, а во второй задаче поступили в точности до наоборот: из исходных 100% вычли конечные 85%?

Давайте проясним этот момент. Формально, в математике изменением величины всегда называется разность между конечным значением и начальным. Другими словами, во второй задаче у нас должно было получиться не 15, а −15.

Однако этот минус ни в коем случае не должен попасть в ответ, потому что он уже учтен в условии исходной задачи. Там прямо сказано о снижении цены. А снижение цены на 15% — это то же самое, что повышение цены на −15%. Именно поэтому в решении и ответе задачи достаточно написать просто 15 — без всяких минусов.

Все, надеюсь, с этим моментом мы разобрались. На этом наш сегодняшний урок закончен. До новых встреч!

1% - это сотая часть числа.

1% = 0,01.

Нахождение процентов от числа.
Чтобы найти проценты от числа, можно проценты представить в виде десятичной дроби и число умножить на полученную десятичную дробь.

Нахождение числа по его процентам.
Чтобы найти число по его процентам, можно проценты представить в виде десятичной дроби и данное число разделить на полученную десятичную дробь.

Чтобы найти сколько процентов одно число составляет от другого можно одно число разделить на другое и полученное произведение умножить на 100.

Как решать задачи на проценты. Примеры.

Нахождение процентов от числа связано с нахождением дроби от числа. Проценты - это особый способ записи обыкновенной дроби, поэтому начинать раскрывать смысл понятия процентов следует с осмысливания понятия обыкновенной дроби.

Возьмем несколько обыкновенных дробей, например,. Какой смысл вкладывается в каждую такую запись?
- Это примеры правильных обыкновенных дробей. Знаменвтель каджой из них показывает на сколько равных частей нужноразделить некий реальный или абстрактный объект, числитель показывает сколько таких частей нужно взять. Возьмем в качестве примера какую-нибудь правильную дробь. Например. Смысл этого выражения можно раскрыть следующим образом. Некий реальный объект разделили на 3 равные части и взяли из них 2 части.

В качестве реального объекта можно взять, например, прямоугольник.

Это выражение представляет собой частное чисел a и b, где b не равно 0.

Это отношение чисел a и b, где b не равно 0.

Это обыкновенная дробь. a – числитель, b – знаменатель (b не равно 0).

Пример 1. Емкость бочки 200 л.бочки заполнили водой. Какой смысл вложили в это предложение?
- эта дробь означает, что некий объект разделили на 5 равных частей и из них взяли 2 части. Объектом в данной задаче является объем бочки равный 200 л, следовательно,
200:5 = 40,
402 = 80.
В бочку налили 80 литров воды.
Приведенный выше пример это типичный пример на нахождение дроби от числа.

Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь.

Теперь можно перейти и к процентам.

Понятие процента определяют так: 1% от числа это сотая часть числа, т. е. 1% = 0,01.

Тогда смысл предложения а% от числа b можно пояснить так. Некий объект (величина, которого равна b единиц) разделили на 100 равных частей и взяли из них a частей.

Пример 2. У Маши было 400 рублей. 24% этой суммы она израсходовала. Какой смысл заключен в этом высказывании?
Так как 24% = 0,24, а 0,24 означает, что некий объект разделили на 100 равных частей и взяли из них 24 части. В данном случае объектом является сумма денег равная 400 руб., следовательно,
400: 100 =4,
424 = 96.
Маша израсходовала 96 рублей.
Приведенный выше пример это типичный пример на нахождение процентов от числа.

Пример 3. Нужно найти р% от числа b .
Пусть x – число, которое нам нужно найти.
p% = 0,01p,
x = b 0,01p

Чтобы найти проценты от числа, нужно число процентов представить в виде десятичной дроби и данное число умножить на эту десятичную дробь.

Другой подход к этой задаче. Можно использовать понятие и свойства пропорции. Если вспомнить, что пропорция - это равенство двух отношений, а отношение двух чисел - это обыкновенная дробь, то этот способ также связан с понятием обыкновенной дроби.

b - 100%,
x - р%,
Имеем пропорцию:
b: 100 = x: р, (b относится к 100 как x относится к p) откуда,

Пример 4. Пусть имеются числа a и b , причем, a > b Тогда число a больше числа b на %.

Подойдем к этой задаче чуть-чуть иначе. Будем рассматривать простой частный случай, например такой: "На сколько процентов число 10 больше числа 2?".

1. Из большего числа вычитаем меньшее. 10 - 2 = 8. Тогда 10 больше 2 на 8.

2. Находим отношение, найденного числа к меньшему числу. 8: 2 = 4 - это отношение двух чисел!

3 Выражаем отношение в процентах 4100 = 400%.

Число 10 больше числа 2 на на 400%.

Если мы 8 разделим на 10 мы найдем отношение, показывающее на какую часть от 10 2 меньше 10 (здесь сравнение идет с числом 10.

Число 2 меньше числа 10 на 80%.

Пример 5. Тракторист вспахал 6 га, что составляетот всего поля. Чему равна площадь всего поля.
Это типичная задача нахождения числа по его дроби. Пусть площадь всего поля равна x, тогда имеем уравнение x= 6. Откуда x = 6:; x = 26. Площадь поля равна 26 га.

Чтобы найти число по его дроби, нужно число соответствующее данной дроби разделить на дробь.

Пример 6 . Дано число b, которое составляет p% от числа a. Найти число а.

p% = 0,01p
b = 0,01pa
a = b: (0,01p)

Дано число b , которое составляет p% от числа a .

Найти число а .

a - 100%

b - p%

a: 100 = b: p

Формула сложных процентов.

Если на вклад положена сумма a денежных единиц, и банк начисляет р% годовых, то через n лет сумма на вкладе составит денежных единиц, или
a(1+0,01p) n денежных единиц.

Пример 7. Постройка дома стоила 9800 рублей, из них 35% заплатили за работу, а остальные деньги за материал. Сколько рублей стоили материалы?

За работу заплатили:

0,359800 = 3430.

Следовательно, материалы стоили: 9800 - 3430 = 6370.

Ответ: 6370 руб.

Пример 8. В цистерну налили 37,4 т бензина, после чего осталось незаполненным 6,5% вместимости цистерны. Сколько бензина нужно долить в цистерну для ее заполнения?

Если незаполненная часть цистерны составляет 6,5% вместимости, то заполненная часть составляет: 100% - 6,5% = 93,5%. Тогда, если х - масса бензина, который осталось долить в цистерну, то имеем пропорцию

откуда.

Ответ: 2,6 т.

Пример 9. Найти число, зная, что 25% его равно 45% от 640.

Пусть х - искомое число. Имеем

0,25x = 0,45640.

Ответ: 1152.

Пример 10. Число а составляет 92% от числа b. Если число b увеличить на 700, то новое число будет на 9% больше числа a. Найти числа a и b.

Из условия задачи имеем систему уравнений:

Решая полученную систему, находим, а = 230000, b = 250000.

Ответ: 230000; 250000.

Пример 11. Первое число составляет 50% от второго. Сколько процентов от первого составляет второе?

Обозначим второе число через х, тогда первое число равняется 0,5х. Чтобы узнать, сколько процентов составляет число х от числа 0,5x; составим пропорцию:

из которой находим

Ответ: 200%.

Пример 12. В лицее 260 учащихся, из которых 10% неуспевающих. После отчисления некоторого числа неуспевающих, их процент снизился до 6,4%. Сколько учащихся отчислено?

До отчисления количество неуспевающих до отчисления соляло

Пусть отчислили х человек. Тогда всего в лицее осталось 260 - х учащихся, из них неуспевающих стало 26 - х. Имеем пропорцию

260 – x - 100%,

(260 – x)0,064=(26 - x)100,

Решая полученное уравнение, находим х = 10.

Пример 13. На сколько процентов число 250 превышает число 200?

Выполним два действия.

1) Выясняем, сколько процентов составляет число 250 т от числа 200:

2) Так как число 200 в данном примере составляет 100%, то число 250 больше числа 200 на 125% -100% = 25%.

Ответ: 25%.

Пример 14. На сколько процентов число 200 меньше, чем число 250?

1) Выясняем, сколько процентов составляет число 200 от числа 250 (в отличие от предыдущего примера, здесь за 100% нужно принимать число 250!):

2) Число 200 меньше числа 250 на 100% - 80% = 20%.

Ответ: 20%.

Пример 15. Длину кирпича увеличили на 30%, ширину на 20%, а высоту уменьшили на 40%. Увеличился или уменьшился от этого объем кирпича и на сколько процентов?

Пусть исходная длина кирпича - х, ширина - у, высота - z. Тогда исходный объем кирпича: V 1 = xyz. Новые размеры кирпича: 1,3х; 1,2у; 0,6z и новый объем: V 2 = 1,3х1,2у0,6z = 0,936xyz. Так как V 2 < V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.

Ответ: уменьшился на 6,4%.

Пример 16. Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?

Обозначим первоначальную цену товара через х. После первого понижения цена станет равной

х - 0, 4х = 0,6x.

Второе понижение цены составляет 25% от новой цены 0,6х, поэтому после второго понижения будем иметь цену

0,6х - 0,250,6x = 0,45x;.

После двух понижений суммарное изменение цены составляет:

х - 0,45x = 0,55х.

Так как величина 0,55x; составляет 55% от величины x, то цена товара понизилась на 55%.

Ответ: 55%.

Пример 17. Первоначальная стоимость единицы продукции равнялась 75 руб. В течение первого года производства она повысилась на некоторое, число процентов, а в течение второго года снизилась (по отношению к повышенной стоимости) на такое же число процентов, в результате чего она стала равна 72 руб. Определите проценты повышения и понижения стоимости единицы продукции.

Пусть х% - это проценты повышения (и понижения) стоимости единицы продукции. По определению х% от 75 это - 750,01x. Тогда после первого повышения цена станет равняться 75 + 0,75x.

В течение второго года цена снизится на величину

0,01x(75+0,75х) = 0,75х + 0,0075х 2 .

Теперь можно записать уравнение для окончательной цены

(75 + 0,75х) - (0,75х + 0,0075х 2) = 72;

х 2 = 400; отсюда x 1 = - 20, x 2 = 20.

Подходит только один корень этого уравнения: х 2 = 20.

Ответ: 20%.

Пример 18. На банковский счет было положено 10 тыс. руб. После того, как деньги пролежали один год со счета сняли 1 тыс. руб. Еще через год на счету стало 11 тыс. руб. Определить, какой процент годовых начисляет банк.

Пусть банк начисляет р% годовых.

1) Сумма в 10000 рублей, положенная на банковский счет под р% годовых, через год возрастет до величины

10000 + 0,01p10000 = 10000 + 100р руб.

Когда со счета снимут 1000 руб., там останется 9000 + 100р руб.

2) Еще через год последняя величина за счет начисления процентов возрастет до величины 9000 + 100р + 0,01p(9000 + 100р) = р 2 + 190р + 9000 руб.

По условию эта величина равна 11000 руб, поэтому имеем квадратное уравнение.

р 2 + 190р + 9000 = 11000;

р 2 + 190р - 2000 = 0
, решим это квадратное уравнение, испрльзуя теорему Виетта, p 1 = 10, p 2 = -200.

Отрицательный корень не подходит.

Ответ: 10%.

Пример 19. В городе в настоящее время 48400 жителей. Известно, что население этого города увеличивается ежегодно на 10%. Сколько жителей было в городе два года назад?

Предположим, что два года назад количество жителей город было x человек, тогда количество жителей в настоящее время выражается через х по формуле сложных процентов:

x(1+0,1) 2 = 1,21x.

Из условия задачи:

Ответ: 40000 человек.

Понятие процент встречается в нашей жизни слишком часто, поэтому очень важно знать, как решать задачи на проценты. В принципе, это дело не сложное, главное, понять принцип работы с процентами.

Что такое процент

Мы оперируем с понятием 100 процентов, и соответственно, один процент это сотая доля определенного числа. И все счисления ведутся уже исходя из этого соотношения.

Например, 1% от 50 это 0,5, 15 от 700 это 7.